વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=2$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ,જે પરવલય $y^{2}=x$ અને રેખા $y=x$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશમાં સામાન્ય નથી,તે શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} y=x e^{\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0)=0$ છે. તો વક્ર $f(x)=y(x) e^{-\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$ અને રેખા $y=x/4+2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

પરવલયો $y^2 = 4x$ અને $x^2 = 4y$ એ રેખાઓ $x = 4$,$y = 4$ અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલા ચોરસ પ્રદેશને વિભાજિત કરે છે. જો $S_1, S_2, S_3$ એ ઉપરથી નીચે ક્રમશઃ આ ભાગોના ક્ષેત્રફળ હોય,તો $S_1:S_2:S_3$ શું થાય?

જો પ્રદેશ $\{(x, y): |4-x^2| \leq y \leq x^2, y \leq 4, x \geq 0\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\left(\frac{80 \sqrt{2}}{\alpha}-\beta\right)$ હોય,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત . . . . . . છે.

વક્રો $y=1+3x-2x^2$ અને $y=\frac{1}{x}$ ના છેદબિંદુઓ પૈકીનું એક બિંદુ $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ છે. ધારો કે આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{24}(\ell \sqrt{5}+m)-n \log_{e}(1+\sqrt{5})$ છે,જ્યાં $\ell, m, n \in N$. તો $\ell+m+n$ ની કિંમત શોધો.

$x=y^2-2$ અને $x=y$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.